从倍比关系，探疴分数类解决问题

                       汪松浩    

在小学数学学习中，分数内容是教学中的一个难点，其中以“分数乘除法解决问题（应用题）”尤为突出。很多专家和老师针对这个内容进行了大量教学研究和实证，然而“分数类解决问题”的教学之难依旧存在。因此，笔者想就此内容提出一些自己的看法，以供同仁参考。

一、问题提出

“分数乘除法”安排在人教版六年级上册，大部分教师在教学这一内容时会遇到这样的情况：分数的乘法计算和解决问题在作为新知学习时，往往不会遇到太大困难。一旦分数除法计算介入，学习困难就立即突显了。很多老师认为，分数类解决问题的教学关键在于单位“1”的认知。学生由于判断不清楚哪一个数量是单位“1”，从而难以确定用什么方法来解决。基于这种状况，流行于六年级数学课堂中有一种潜在的通用的教学模式：

① 审题，寻找题目条件中分率所对应的单位“1”。

② 判断单位“1”的量是否已知。

    单位“1”的量已知，即求部分量(或称比较量)，用单位“1”的量乘分率可求；单位“1”的量未知，即用部分量（比较量）除以对应的分率可求单位“1”的量（或是用方程来求）。

同时，单位“1”到底是哪个数量，也可以通过条件中的某些“特征”来直接判断，比如“比”字后面的数量就是单位“1”的量，分率前面“的”字前面的数量也是单位“1”的量。

这种教学方式，从实际教学效果来看是不够理想的。在解题过程中，大部分学生是按照一种机械模式来操作，难以对问题中的数量关系进行有效分析，对于“模型题”以外的问题更是无从解决。学生无法灵活运用，无法内化成解决问题的能力，足以证明这种模式教学是无效的，是治标不治本的。那么如何理解分数类解决问题的数量关系？分数类解决问题采用什么样的教学策略才会更加有效？

二、问题探疴

1、引入方程，真能解决分数类解决问题的困难吗？

分数类问题解决的难度是一直存在且引起广泛关注的。在新一轮的课改中可以看到教材里相关内容的调整，说明教材的编写者们也在尝试从教学源头——教材的编写上来改变这一现状。最新教材（人教版为例）将分数除法的解决问题部分由原来的算术解法修改为引入方程解决问题。教材编写的改变带来了教学行为的改变。教学实施中，方程的确有效的降低除法逆运算的思维难度，但列方程解决问题本身就是小学数学学习中的一个难题。这是与算术方法的解法完全是两种思维方式，学生在设未知数和列等量关系中均易遇阻。而且引入方程对于之前的模式教学并没有什么实质性突破，学生依旧需要从已知数量中找单位“1”是谁，由此决定到底是直接用算术方法的乘法计算还是用方程的乘法计算。模式训练中任何一环都未因此而突破，改变的仅是“算数方法的除法”与“方程”这两种方法互相替换而已。这种“换汤不换药”的改变，使得教与学的困难依旧存在。

2、分数问题解决为何如此“特立独行”？分数问题解决中的数量关系真那么特殊吗？

在分数的整个学习过程中，老师或学生都能体会到，分数跟以前学的数太不一样，无论是分数意义的学习，还是分数的计算亦或是解决问题，似乎都自成一套体系。我们不由要问：分数真的是一类数吗？分数类解决问题难道真的脱离了基本的数量关系自成体系吗？无疑这是不可能的事情。

让我们从数量关系这个源头理一理吧！问题解决的基本数量关系归根结底可以分为两类：差比关系和倍比关系。我们常说的比较事物数量之间关系的方法有两种：一是比较两个数量相差关系，叫做差比，对应于加减运算；二是比较两个数量之间的倍数关系，叫做倍比，对应于乘除运算。毫无疑问分数的乘除法解决问题应该对应到倍比问题中来。我们要想看清事物的本质面目，最直接、有效的方法就是将其简化到最基本模型中来。如：

（1）甲数是6，甲数是乙数的3倍，乙数是多少？

（2）甲数是6，甲数是乙数的，乙数是多少？

不难看出这两个题的数量关系完全是相同的，都是运用除法来运算：（1）6÷3=2；（2）6÷=9。

因此，我们就能得出一个结论：分数类解决问题的中的数量关系归根结底就是倍比关系！分数类解决问题应该基于差比和倍比关系来理解和教学。

事实上分数定义本身就是多样性的。张奠宙先生就对分数定义有如下几种论述：

定义1(份数定义)：分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份。

定义2(商定义)：分数是两个整数相除(除数不为0)的商。

定义3(比定义)：分数是整数q与整数P(P≠0)之比。

定义4(公理化定义)：有序的整数对(p，q)，其中p≠0。

故此分数类解决问题亦可根据不同含义来解题，可以通过等分意义中的“份数”来解释，也可以通过除法中的商来理解，还可从比的意义来处理。分数意义的多样性，决定了解决问题中合理解释途径多样性，这正是数学逻辑灵活与严谨的表现。但谈到数量关系，最后落根应该是“差比与倍比关系”。理顺这种数量关系，让我们明白在教学中为何对单位“1”这个数量是如此重视，“单位1”的量实际上就是倍比问题中的“标准量”（或一倍量），分率的含义就是整数“倍”的含义扩充（非整数倍），所谓“倍”“率”同宗。

     3、为何我们不基于基本的数量关系来教学分数类解决问题？这种现象从什么哪儿开始的呢？

让我们先简单回顾一下整数、小数类的解决问题的教学。

（1）以人教版教材为例，整数类解决问题中“倍” 的教学出现在三年级上册。在教学这一部分内容时，学生会在学习初出现短暂的困难期，但随教学的深入，在后段学生似乎不再有分析困难。表面顺利的背后可能隐藏了一个被人忽视的“祸根”。有老师用整数问题中，积往往大于因数的这种感性认识来帮助学生突破难点，即求较大的数就用乘法，反之亦然。这种不是基于数量关系的教学将严重影响小数和分数的倍比关系学习，使解决问题的数量关系分析会因此而变得非常困难（计算结果的大小变化实际关联的是第二个因数与除数的取值）。

（2）小数的倍比关系的解决问题教学存在知识空缺。几乎所有的小数类型的问题解决都是基于一个具体的生活情境来实现算理分析的，如：行程问题、工效问题、归一问题，而缺乏明确的倍比关系的基本数量关系的训练。在教材中是看不到诸如“求甲数的0.132倍是多少？”这种问题的。这种回避是源于生活用语中，“倍”的含义带有整数倍的指向。日常中，人们对“1.5倍”的说法持模棱两可的态度，至于什么“0.132倍”的说法则更是鲜有耳闻的。如此避讳之后，关于倍比关系的原型问题在小数的解决问题当中是缺位的。

     值得一提的是，在小数的解决问题中，“归一问题”的教学意义重大，影响深远，是大有可为的。例如：

有12千克小麦可以磨面粉7.5千克，要磨面粉3.5千克需要小麦多少千克？

   解法一：12÷7.5=1.6（千克）    解法二：7.5÷12=0.625（千克）

           1.6×3.5=5.6（千克）          3.5÷0.625=5.6（千克）

     此题是一个很好的“归一问题”的训练素材，而“归一问题”就是以“倍比关系”为原型的。此类题中“标准量”的变化，可以帮助孩子体验标准量和参考量关系是如何确立的。但可惜的是，现行教材中这类素材的使用非常罕见。

     由此可见，在小数的乘除法解决问题中知识结构性缺失，架空了分数类解决问题认知的序列前项，导致“倍比关系”的学习从小数类型正迁移到分数类型非常困难。所以当遇到分数问题时我们便生造和割裂出一个特别的解题模式，造成认知困难。

（3）在进行分数意义的教学时，由于过份强调等分意义，强调“平均分”和“单位1”，导致分数的其他含义渗透困难，学生对分数这类数的认知不够全面。过份突出分数的特殊性和等分含义中的分割过程，对数的共性特征提取不够，运用不足，造成有关“数的认识”正迁移困难。延续到分数类解决问题的教学时，分数的等分意义对问题解决依旧影响巨大。而解决问题从等分意义和关于比的含义理解，实际是以整数的“份数”为媒介，其数量关系的理解模型依旧是整数模型，没有从分数直接的倍比关系出发解决问题。

三、解决建议

针对以上问题的分析与探寻，笔者将在此阐述自己的思考结果：  

一）让分数教学回归到“数的认识”的道路上来。

1、让分数意义的教学更多样化，阶段性教学目标更加合理、明确。三年级，分数的初步认识可以从等分意义入手，因为有良好的生活认知基础以及直观数学模型作参考，让分数的首次认识变得简单而有趣。但随后五年级再次认识分数时，不应仍停留在等分意义的理解上，而应在突破假分数的教学之后，将分数教学拓展到对整个分数数域的感知与认识，帮助学生建立较完整的分数认识。并及时落实对分数其他含义的沟通，让学生对分数的理解更加全面，使其对分数的学习最终落实到数的认识高度上来。

2、多做分数、小数的计算沟通，在四则运算与方程的计算中让学生体会分数、小数的计算等价意义。所有类型的数字在计算规则中的变化都是基于“数”的背景，有利于分数突破在“等分过程”中的不利影响，让学生尽快将分数当做一类“数”来看待。当学生能自然地将分数当做像整数、小数一样的“数”时，再做问题解决的教学就会变得轻松自如一些。

二）让解决问题回归到“数量关系”的教学道路上来。

要想解决好分数类解决问题必须落实“倍比关系”的数量关系教学，而且必须将“倍比问题”当做一类系统问题来看待。只有在系统教学的前期做好知识铺垫，利用好知识的正迁移作用才可能实现最后的知识难点突破。

首先，“倍比问题”的教学重难点在于两个“量”--“标准量”和“比较量”的认识和突破。这就需要在每次接触此类知识的时候都紧扣数量关系来分析，紧扣这两个量的理解来实施教学。 “倍比关系”的教学有三个阶段：三年级学习整数类倍比问题，五年级学习小数类倍比问题，六年级学习分数类倍比问题。每个阶段都要落实好“标准量”和“比较量”的认识，不断扩充完善倍比关系的认识。

再者，重提“文字题”这一经典的题型。文字题是任何类型解决问题的原型题，是数量关系教学中较纯粹、有力的素材。有教师甚至在教学有生活情境的解决问题时，带孩子将其梳理简化为相应的文字题，利于孩子看清数量关系的“骨架”，这无疑是一个有效的教学方法。新课改中，文字题的地位被削弱，导致孩子在解决问题中更多地依靠情境中的事理来进行数量关系分析的，对基本的数量关系原型认识比较粗浅。特别应该在小数的学习阶段加大文字题（特别是倍比关系的文字题）的教学份量，能有效扩充孩子对倍数的关系的认识，让学生认识到“标准量”和“对比量”是可互相转化的。例如：甲数是乙数的2倍即乙数是甲数的0.5（倍）。这对后面分数类的相关内容学习起到至关重要的铺底作用。

等到学生在六年级阶段遇到分数类解决问题时，我们就只需利用好“倍比关系”已有的认识基础来实施对比教学。教学中鼓励孩子将分数的倍比问题与整数、小数的倍比模型题进行比对，巩固数量关系的原型认知，实现知识点之间顺利地正向迁移。对分数的倍比问题一定要全面认识到“倍”和“率”只是倍比关系中两个方向的描述而已：甲数是乙数的3倍，即乙数是甲数的。同时可将分率转化为小数倍进行对比运算，如：“甲数的”可转化为“甲数的0.2（倍）”；“比甲多50%”可转化为“是甲的1.5倍”…..方便学生对“倍”与“率”的理解得到有效沟通。此类转化能有效消除学生的理解困难，特别是在解决类似利润问题这样的分数难题中效果明显。

最后，方程解决问题的教学应该安排在教授完分数乘除法算术方法之后。算术方法的乘法和除法是对应的数量关系中正逆两个方向的解题方法，是一个完整的结构认知，需要学生充分理解掌握。并且在乘除法综合类型的解决问题中进行了充分对比训练之后，这个“分数倍比问题”的教学才算完整。而方程只是另外一种有别于算术方法的解题方法，它的意义能充分体现在解决较难的数量关系的问题中。

     综上所述，分数类解决问题的教学困惑绝不是一个简单的知识点的问题。它是分数教学版块中的一部分，我们要有“数”的建构意识，让分数意义、分数计算的教学推动解决问题的教学。同时，解决问题应该提升到“数量关系”的系统建构上来，从整体着手认识这个问题。唯有如此，才能从根本上使这个难点得以突破。